Основное

Логические отношения между суждениями описывают связи между простыми высказываниями, которые могут быть истинными или ложными. Основные типы:Основанные на сравнимости субъектов и предикатов:

• Сравнимые - Высказывания с одинаковыми субъектами и предикатами, но различающимися кванторами и связками. Пример: "Все студенты изучают математику" и "Некоторые студенты не изучают математику".

• Несравнимые - Высказывания с разными субъектами и предикатами. Пример: "Все студенты изучают математику" и "Некоторые спортсмены - олимпийские чемпионы".

Основанные на возможности быть истинными вместе:

• Совместимые - Высказывания, которые могут быть истинными вместе. Пример: "Некоторые люди - спортсмены" и "Некоторые люди - не спортсмены".

• Несовместимые - Высказывания, которые не могут быть истинными вместе. Пример: "Все студенты изучают математику" и "Некоторые студенты не изучают математику".

Основанные на идентичности компонентов:

• Равнозначность - Эквивалентные высказывания с идентичными субъектами, предикатами, кванторами и связками. Пример: "Москва - древний город" и "Столица России - древний город".

• Подчинение - Высказывания с одинаковыми предикатами и связками, но субъектами в родовидовом отношении. Пример: "Все растения - живые организмы" и "Все цветы (некоторые растения) - живые организмы".

• Частичное совпадение - Высказывания с одинаковыми субъектами и предикатами, но разными связками. Пример: "Некоторые грибы съедобны" и "Некоторые грибы несъедобны".

Основанные на истинностных значениях:

• Противоположность - Высказывания с одинаковыми субъектами и предикатами, но противоположными связками, которые не могут быть истинными вместе, но могут быть ложными вместе. Пример: "Все люди правдивы" и "Никто из людей не правдив".

• Противоречие - Высказывания с одинаковыми предикатами, противоположными связками и субъектами в родовидовом отношении, где одно должно быть истинным, а другое - ложным. Пример: "Все люди правдивы" и "Некоторые люди неправдивы".

Логический квадрат - это диаграмма, представляющая отношения между четырьмя типами категорических высказываний: A (общеутвердительные), E (общеотрицательные), I (частноутвердительные) и O (частноотрицательные).

Термины

• Высказывание - Предложение, которое может быть истинным или ложным, например, "Небо голубое".

• Субъект - Термин в высказывании, о котором что-то утверждается. В лингвистике субъекту соответствует существительное или существительное словосочетание, являющееся фокусом высказывания.

• Предикат - Часть высказывания, которая говорит что-то о субъекте. Он выражает действие, состояние или свойство, приписываемое субъекту. В лингвистике предикату соответствует глагол или глагольное словосочетание.

• Общеутвердительное (A) - Высказывание вида "Все S являются P", утверждающее, что весь субъект включен в предикат.

• Частноутвердительное (I) - Высказывание вида "Некоторые S являются P", утверждающее, что часть субъекта включена в предикат.

• Общеотрицательное (E) - Высказывание вида "Никакие S не являются P", отрицающее, что какая-либо часть субъекта включена в предикат.

• Частноотрицательное (O) - Высказывание вида "Некоторые S не являются P", отрицающее, что весь субъект включен в предикат.

Аналогия

Отношения между высказываниями можно визуализировать с помощью кругов Эйлера или диаграмм Венна, где субъекты и предикаты представлены как пересекающиеся или непересекающиеся множества. Совместимые высказывания - пересекающиеся множества, несовместимые - непересекающиеся.

Главное заблуждение

Многие путают отношения противоположности и противоречия между высказываниями. Противоположные высказывания не могут быть истинными вместе, но могут быть ложными вместе, в то время как противоречащие высказывания не могут быть одновременно истинными или ложными.

Пример: "Все птицы могут летать" и "Никакие птицы не могут летать" - противоположные, но оба могут быть ложными, если некоторые птицы могут летать, а некоторые нет. Однако "Все птицы могут летать" и "Некоторые птицы не могут летать" - противоречащие, если одно истинно, другое должно быть ложным.

История

1. В Средние века (около 1200 г. н.э.) логики ввели понятие логического квадрата для представления отношений между категорическими высказываниями.

2. В XIX веке логики разработали теорию отношений между сложными высказываниями (конъюнкции, дизъюнкции и др.).

3. В 1879 году Готлоб Фреге ввел символическое исчисление высказываний для формализации логических отношений.

"Логика - это анатомия мысли" (Джон Локк, английский философ и основатель эмпиризма, 1632-1704).

Три случая применения

1. При анализе аргументов необходимо определять отношения между составляющими их высказываниями для оценки их логической связности и непротиворечивости. Например, если две посылки противоречат друг другу, аргумент недействителен.

2. В программировании логические операции (И, ИЛИ, НЕ) основаны на отношениях между высказываниями и используются для построения сложных условий. Например: "Если возраст >= 18 И студент == истина, то предоставитьСкидку()".

3. В юриспруденции важно выявлять противоречия между законами и нормативными актами для разрешения конфликтов. Например, если один закон гласит "X легально", а другой - "X нелегально", есть противоречие, которое нужно разрешить.

Интересные факты

• В логическом квадрате 6 различных отношений между высказываниями.

• Максимальное количество простых высказываний в сложном - 2^n, где n - число переменных.

• В 1847 году Джордж Буль ввел булеву алгебру, представляя высказывания числами 0 и 1.

• Закон исключенного третьего не работает для бесконечных множеств, например, "Все натуральные числа четные или нечетные".

• Квантовая логика использует нечеткие высказывания со значениями истинности от 0 до 1.